BBの本来の意味（語源）
「BB」はもともと、鋼製（スチール）の小球で、散弾銃（ショットガン）の内部に詰めてある弾のサイズ規格を指す名称です。
散弾の内部には鉄の粒が入っており、サイズごとに名称があります。
鉄球はサイズごとに、B、BB、BBB、No.1、 No.2、などに分類されており、この中でBBサイズは直径およそ4.5mm（約0.18インチ）の金属球となっています。
エアガンとの関係
19世紀後半 〜 20世紀初頭に登場したBBサイズの鋼球を使う空気銃、BBガン（BB Gun）の弾としてアメリカで普及します。
つまり本来は
- BBガン＝BBサイズの金属球を撃つ銃
でした。
なぜ日本のエアソフトガンも「BB弾」？
日本のエアソフトガンは安全性の観点から
- 金属弾 → プラスチック弾
- 4.5mm → 6mm
に変更されました。
しかし、「BBガン」「BB弾」という呼び名だけが 慣習として残ったため、材質もサイズも違うが、名前だけ引き継がれた状態になっています。
まとめ
- BB弾の「BB」は散弾銃用の金属球サイズ名が由来
- BBガンが先に存在し、その弾がBBと呼ばれた
- 日本のエアソフトガンでは安全対策でプラスチック＆6mm化
- それでも慣習的に「BB弾」という名称が使われ続けている
結論
BB弾の「BB」は、もともと金属製の小さな球（散弾）を指す名称で、そこから転じて エアソフトガン用のプラスチック弾にも同じ呼び名が使われるようになった、という流れです。